Sea $f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}}$ una función diferenciable, con derivada continua, y sea \[ s_{n}=\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right) ] Demostrar que la secuencia $(s_{n+1}-s_{n})_{n\in{\mathbb{N}^{\ast}}}$ converge a $\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$ .

Para cada entero positivo $n$ consideramos la función $f_{n}:[0,n]\rightarrow{\mathbb{R}}$ definida por $f_{n}(x)=\arctan{\left(\left\lfloor x\right\rfloor \right)} $ , donde $\left\lfloor x\right\rfloor $ denota la parte entera del número real $x$ . Demostrar que $f_{n}$ es una función integrable de Riemann y encontrar $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1}{n}\int_{0}^{n}f_{n}(x)\mathrm{d}x.$

Sea $K$ un campo finito con $q$ elementos y sea $n \ge q$ un entero. Encuentra la probabilidad de que al elegir un polinomio de grado $n$ con coeficientes en $K,$ no tenga ninguna raíz en $K.$

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua tal que $$ \int_0^1 (x-1)f(x)dx =0. $$ Muestra que: a) Existe $ a\in (0,1) $ tal que $ \int_0^a xf(x)dx =0. $ b) Existe $ b\in (0,1) $ de modo que $ \int_0^b xf(x)dx=bf(b). $

Demuestra que en un anillo abeliano $ A $ en el que $ 1\neq 0, $ cada elemento es idempotente si y solo si el número de funciones polinómicas de $ A $ a $ A $ es igual al cuadrado del cardinal de $ A. $

Sea $ f:[0,\infty )\longrightarrow [0,\infty ) $ una función no creciente que satisface la desigualdad: $$ \int_0^x f(t)dt <1,\quad\forall x\ge 0. $$ Prueba las siguientes afirmaciones: a) $ \exists \lim_{x\to\infty} \int_0^x f(t)dt \in\mathbb{R} . $ b) $ \lim_{x\to\infty} xf(x) =0. $

a) Demuestra que la función $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ F(x)=2\lfloor x\rfloor-\cos(3\pi\{x\})$ es continua sobre $\mathbb{R}$ y para cualquier $y\in \mathbb{R}$ , la ecuación $F(x)=y$ tiene exactamente tres soluciones. b) Sea $k$ un entero par positivo. Demuestra que no existe una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f$ sea continua sobre $\mathbb{R}$ y que para cualquier $y\in \text{Im}\ f$ , la ecuación $f(x)=y$ tiene exactamente $k$ soluciones $(\text{Im}\ f=f(\mathbb{R}))$ .

Sea $(x_n)_{n\ge 1}$ una secuencia definida por $x_1=2,\ x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\ (\forall)n\in \mathbb{N}^*$ . Demuestra que $\lim_{n\to \infty} x_n=1$ y evalúa $\lim_{n\to \infty} x_n^n$ .

Sea $n\in \mathbb{N}^*$ y una matriz $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\ A=(a_{ij})_{1\le i, j\le n}$ tal que: $$a_{ij}+a_{jk}+a_{ki}=0,\ (\forall)i,j,k\in \{1,2,\ldots,n\}$$ Demuestra que $\text{rank}\ A\le 2$ .

Sean $A,B,C\in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ tales que $\det A=\det B=\det C$ y $\det(A+iB)=\det(C+iA)$ . Demuestra que $\det (A+B)=\det (C+A)$ .