a) Sean $ z_1,z_2,z_3 $ tres números complejos del mismo valor absoluto, y $ 0=z_1+z_2+z_3. $ Muestra que estos representan las afijas de un triángulo equilátero. b) Encuentra todos los subconjuntos formados por raíces de la misma unidad que tienen la propiedad de que cualesquiera tres elementos de cada uno de estos no representan los vértices de un triángulo equilátero.

Sea $ A $ el conjunto de soluciones reales de la ecuación $ 3^x=x+2, $ y sea el conjunto $ B $ de soluciones reales de la ecuación $ \log_3 (x+2) +\log_2 \left( 3^x-x \right) =3^x-1 . $ Prueba la validez de los siguientes subpuntos: a) $ A\subset B. $ b) $ B\not\subset\mathbb{Q} \wedge B\not\subset \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} . $

Encuentra los números complejos $ z_1,z_2,z_3 $ del mismo valor absoluto que tienen la propiedad de que: $$ 1=z_1z_2z_3=z_1+z_2+z_3. $$

Sean $ f,g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ funciones con la propiedad de que $$ f\left( g(x) \right) =g\left( f(x) \right) =-x,\quad\forall x\in\mathbb{R} $$ a) Muestra que $ f,g $ son impares. b) Da un ejemplo concreto de tales $ f,g. $

Encuentra las funciones $ f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ tales que: $$ \frac{f(x+y)+f(x)}{2x+f(y)} =\frac{2y+f(x)}{f(x+y)+f(y)} ,\quad\forall x,y\in\mathbb{N} . $$

a) Para $ a,b\ge 0 $ y $ x,y>0, $ muestra que: $$ \frac{a^3}{x^2} +\frac{b^3}{y^2}\ge \frac{(a+b)^3}{(x+y)^2} . $$ b) Para $ a,b,c\ge 0 $ y $ x,y,z>0 $ bajo la condición $ a+b+c=x+y+z, $ prueba que: $$ \frac{a^3}{x^2} +\frac{b^3}{y^2} +\frac{c^3}{z^2} \ge a+b+c. $$

Los números del $1$ al $100$ están escritos en la pizarra. ¿Es posible tachar $10$ números de tal manera que no podamos seleccionar $10$ números del resto que formen una progresión aritmética?

En los lados $ AB $ y $ AC $ del triángulo $ ABC $ considera los puntos $ D, $ respectivamente, $ E, $ tales que $$ \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} +\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{EC} =\overrightarrow{O} . $$ Si $ T $ es la intersección de $ DC $ y $ BE, $ determina el número real $ \alpha $ tal que: $$ \overrightarrow{TB} +\overrightarrow{TC} =\alpha\cdot\overrightarrow{TA} . $$

Los números enteros positivos a y b satisfacen $(a^2- 9b^2)^2 - 33b = 1$ . a) Demuestra $|a -3b|\ge 1$ . b) Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ que satisfacen la igualdad.

Considera el prisma cuadrilátero regular $ABCDA'B'C 'D'$ , en el que $AB = a,AA' = \frac{a \sqrt {2}}{2}$ , y $M$ es el punto medio de $B' C'$ . Sea $F$ el pie de la perpendicular desde $B$ en la línea $MC$ , Determina la medida del ángulo entre los planos $(BDF)$ y $(HBS)$ .