Sean $ACD$ y $BCD$ triángulos acutángulos ubicados en diferentes planos. Sean $G$ y $H$ el centroide y el ortocentro respectivamente del triángulo $BCD$; Similarmente sean $G'$ y $H'$ el centroide y el ortocentro del triángulo $ACD$. Sabiendo que $HH'$ es perpendicular al plano $(ACD)$ , demuestre que $GG' $ es perpendicular al plano $(BCD)$ .

En el plano $xOy$ , se consideran muchos puntos $$X = \{P (a, b) | (a, b) \in \{1, 2,..., 10\} \times \{1, 2,..., 10 \}\}$$ Determine el número de líneas diferentes que se pueden obtener uniendo dos de ellos entre los puntos del conjunto $X$ ; de modo que dos líneas cualesquiera no sean paralelas.

Determine los números reales $a, b, c, d$ de modo que $$ab + c + d = 3, \,\, bc + d + a = 5, \,\, cd + a + b = 2 \,\,\,\, y \,\,\,\,da + b + c = 6$$

Nombre reducido de un número natural $A$ con $n$ dígitos ( $n \ge 2$ ) un número de $n-1$ dígitos obtenido al eliminar uno de los dígitos de $A$ : Por ejemplo, los nombres reducidos de $1024$ son $124$ , $104$ y $120$ . Determine cuántos números de siete dígitos no se pueden escribir como la suma de un número natural $A$ y un nombre reducido de $A$ .

Consideremos los números naturales no nulos $(m, n)$ tales que los números $$\frac{m^2 + 2n}{n^2 - 2m} \,\,\,\, y \,\,\, \frac{n^2 + 2m}{m^2-2n}$$ son enteros. a) Demuestre que $|m - n| \le 2$ : b) Encuentre todos los pares $(m, n)$ con la propiedad de la hipótesis $a$ .

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $\angle A$ . Considere los puntos $D \in (AC)$ y $E \in (BD)$ tales que $\angle ABC = \angle ECD = \angle CED$ . Demuestre que $BE = 2 \cdot AD$

Sea $P$ un punto dentro del cuadrado $ABCD$ y $PA = 1$ , $PB = \sqrt2$ y $PC =\sqrt3$ . a) Determine la longitud del segmento $[PD]$ . b) Determine el ángulo $\angle APB$ .

Sea $f:[0,\infty )\rightarrow\mathbb{R}$ una función periódica, con período $1$ , integrable en $[0,1]$ . Para una sucesión estrictamente creciente e ilimitada $(x_n)_{n\ge 0},\, x_0=0,$ con $\lim_{n\rightarrow\infty} (x_{n+1}-x_n)=0$ , denotamos $r(n)=\max \{ k\mid x_k\le n\}$ . a) Demostrar que: $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{r(n)}(x_k-x_{k+1})f(x_k)=\int_0^1 f(x)\, dx$ b) Demostrar que: $ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^{r(n)}\frac{f(\ln k)}{k}=\int_0^1f(x)\, dx$

Sea $f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua. Demostrar que: a) si $\int_0^1 f(\sin (x+\alpha ))\, dx=0$ , para cada $\alpha\in\mathbb{R}$ , entonces $f(x)=0,\ \forall x\in [-1,1]$ . b) si $\int_0^1 f(\sin (nx))\, dx=0$ , para cada $n\in\mathbb{Z}$ , entonces $f(x)=0,\ \forall x\in [-1,1]$ .

Sea $A$ un anillo finito. Demostrar que existen dos números naturales $m,p$ donde $m> p\ge 1$ , tales que $a^m=a^p$ para todo $a\in A$ .