Los lados de un triángulo equilátero se dividen en n partes iguales por $n-1$ puntos en cada lado. A través de estos puntos se dibujan líneas paralelas a los lados del triángulo. Por lo tanto, el triángulo inicial se divide en $n^2$ triángulos equiláteros iguales. En cada vértice de dicho triángulo hay un escarabajo. Los escarabajos comienzan a gatear simultáneamente, con igual velocidad, a lo largo de los lados de los pequeños triángulos. Cuando llegan a un vértice, los escarabajos cambian la dirección de su movimiento en $60^{\circ}$ o en $120^{\circ}$ . a) Demostrar que, si $n \geq 7$ , los escarabajos pueden moverse indefinidamente por los lados de los pequeños triángulos sin que dos escarabajos se encuentren nunca en un vértice de un triángulo pequeño. b) Determinar todos los valores de $n \geq 1$ para los cuales los escarabajos pueden moverse a lo largo de los lados de los pequeños triángulos sin encontrarse en sus vértices.

Sea $I$ el incentro del $\Delta ABC$ escaleno, tal que, $AB<AC$ , y sea $I'$ la reflexión del punto $I$ en la línea $BC$ . La bisectriz del ángulo $AI$ se encuentra con $BC$ en $D$ y con la circunferencia circunscrita del $\Delta ABC$ en $E$ . La línea $EI'$ se encuentra con la circunferencia circunscrita en $F$ . Demostrar que, $\text{(i) } \frac{AI}{IE}=\frac{ID}{DE}$ $\text{(ii) } IA=IF$

Dados $x_1,x_2,...,x_n$ números reales, demostrar que existe un número real $y$ , tal que, $$\{y-x_1\}+\{y-x_2\}+...+\{y-x_n\} \leq \frac{n-1}{2}$$

Sean $n$ y $k$ dos enteros positivos tales que $1\leq n \leq k$ . Demostrar que, si $d^k+k$ es un número primo para cada divisor positivo $d$ de $n$ , entonces $n+k$ es un número primo.

Sean $a, b, c, d$ números reales no negativos que satisfacen $a + b + c + d = 3$ . Demostrar que $$\n\frac{a}{1 + 2b^3} + \frac{b}{1 + 2c^3} +\frac{c}{1 + 2d^3} +\frac{d}{1 + 2a^3} \ge \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{3}$$\n¿Cuándo se cumple la igualdad?

Determinar el entero positivo más pequeño $n$ tal que, para cualquier coloración de los elementos del conjunto $\{2,3,...,n\}$ con dos colores, la ecuación $x + y = z$ tiene una solución monocromática con $x \ne y$ . (Decimos que la ecuación $x + y = z$ tiene una solución monocromática si existen $a, b, c$ distintos, teniendo el mismo color, tales que $a + b = c$ . )

Determinar los enteros $x$ tales que $2^x + x^2 + 25$ es el cubo de un número primo.

Dado un triángulo agudo ${ABC}$ , construir triángulos ${ABD}$ y ${ACE}$ externamente, de modo que ${\angle ADB= \angle AEC=90^o}$ y ${\angle BAD= \angle CAE}$ . Sea ${{A}_{1}}\in BC,{{B}_{1}}\in AC$ y ${{C}_{1}}\in AB$ los pies de las alturas del triángulo ${ABC}$ , y sean $K$ y ${L}$ los puntos medios de $[ B{{C}_{1}} ]$ y ${CB_1}$ , respectivamente. Demostrar que los circuncentros de los triángulos $AKL,{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ y ${DEA_1}$ son colineales. (Bulgaria)

Dos triángulos rectángulos isósceles de catetos iguales a $1$ se pegan para formar un triángulo isósceles - llamado forma t - de cateto $\sqrt2$ , o un paralelogramo - llamado forma p - de lados $1$ y $\sqrt2$ . Encontrar todos los enteros $m$ y $n, m, n \ge 2$ , tales que un rectángulo $m \times n$ pueda ser cubierto con formas t y formas p.

Determinar los enteros $x$ e $y$ para los cuales $\sqrt{4^x + 5^y}$ es racional.