Un dado es un cubo unitario con números del $1$ al $6$ escritos en sus caras, de modo que cada número aparece una vez y la suma de los números en dos caras opuestas cualesquiera es $7$. Construimos un cubo grande de $3 \cdot 3 \cdot 3$ usando $27$ dados. Encuentra todos los valores posibles de la suma de los números que se pueden ver en las caras del cubo grande.

En el triángulo $\triangle ABC$, la bisectriz $AD$ ( $D \in BC$ ) y la mediana $BE$ ( $E \in AC$ ) se intersecan en el punto $P$. Las líneas $AB$ y $CP$ se intersecan en el punto $F$. La paralela por $B$ a $CF$ interseca a $DF$ en el punto $M$. Demuestra que $DM = BF$

Considerar un tablero de $m\times n$ donde $m, n \ge 3$ son enteros positivos, dividido en cuadrados unitarios. Inicialmente todos los cuadrados son blancos. ¿Cuál es el número mínimo de cuadrados que deben pintarse de rojo para que cada cuadrado de $3\times 3$ contenga al menos dos cuadrados rojos?

Sea $n \ge 2$ un entero positivo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) para todo entero $x$ coprimo con n la congruencia $x^6 \equiv 1$ (mod $n$ ) se cumple, b) $n$ divide a $504$ .

Sea $A$ un punto fuera del círculo $\omega$ . Las tangentes desde $A$ tocan el círculo en $B$ y $C$ . Sea $P$ un punto arbitrario en la extensión de $AC$ hacia $C$ , $Q$ la proyección de $C$ sobre $PB$ y $E$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita de $ABP$ con el círculo $\omega$ . Demostrar que $\angle PEQ = 2\angle APB$

Si $a, b, c \in [-1, 1]$ satisfacen $a + b + c + abc = 0$ , demostrar que $a^2 + b^2 + c^2 \ge 3(a + b + c)$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en $A$ . La altitud desde $A$ se encuentra con $BC$ en $H$ y $M$ es el punto medio de la hipotenusa $[BC]$ . En los catetos, en el exterior del triángulo, se construyen triángulos equiláteros $BAP$ y $ACQ$ . Si $N$ es el punto de intersección de las líneas $AM$ y $PQ$ , demostrar que los ángulos $\angle NHP$ y $\angle AHQ$ son iguales.

Demostrar que si $a,b,c, d \in [1,2]$ , entonces $$\n\frac{a + b}{b + c}+\frac{c + d}{d + a}\le 4 \frac{a + c}{b + d}$$\n¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $n$ un entero positivo. Para cada uno de los números $1, 2,.., n$ calculamos la diferencia entre el número de sus divisores positivos impares y sus divisores positivos pares. Demostrar que la suma de estas diferencias es al menos $0$ y como máximo $n$ .

Alina y Bogdan juegan un juego en una cuadrícula rectangular de $2\times n$ ( $n\ge 2$ ) cuyos lados de longitud $2$ se pegan para formar un cilindro. En movimientos alternados, cada jugador recorta un cuadrado unitario de la cuadrícula. Un jugador pierde si su movimiento hace que la cuadrícula pierda la conexión circular (dos cuadrados unitarios que solo se tocan en una esquina se consideran desconectados). Suponga que Alina hace el primer movimiento. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?