Considere un número entero distinto de cero $n$ y la función $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ por\n\[ f(x) = \begin{cases}\n\frac{x}{2} & \text{si } x \text{ es par} \\\n\frac{x-1}{2} + 2^{n-1} & \text{si } x \text{ es impar}\n\end{cases}.\n\] Determine el conjunto:\n\[\nA = \{ x\in \mathbb{N} \mid \underbrace{\left( f\circ f\circ ....\circ f \right)}_{n\ f\text{'s}}\left( x \right)=x \}.\n\]

Dado $P$ un punto m dentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $DEF$ las intersecciones de las líneas con eso $AP$ , $BP$ , $CP$ con $\left[ BC \right],\left[ CA \right],$ respectiva $\left[ AB \right]$ a) Muestre que el área del triángulo $DEF$ es como máximo una cuarta parte del área del triángulo $ABC$ b) Muestre que el radio del círculo inscrito en el triángulo $DEF$ es como máximo una cuarta parte del radio del círculo circunscrito en el triángulo $4ABC.$

Dado $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función arbitraria y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función de segundo grado, con la propiedad: para cualquier número real m y n la ecuación $f\left( x \right)=mx+n$ tiene soluciones si y sólo si la ecuación $g\left( x \right)=mx+n$ tiene soluciones Muestre que las funciones $f$ y $g$ son iguales.

Una serie de números se llama completa si tiene términos naturales distintos de cero y cualquier entero distinto de cero tiene al menos uno entre series múltiples. Demuestre que la progresión aritmética es una secuencia completa si y sólo si divide la relación del primer término.

Un conjunto $M$ de números reales se llamará especial si tiene las propiedades: (i) para cada $x, y \in M, x\ne y$, los números $x + y$ y $xy$ no son cero y exactamente uno de ellos es racional; (ii) para cada $x \in M, x^2$ es irracional. Encuentra el número máximo de elementos de un conjunto especial.

Encuentra todos los reales $x > 0$ y enteros $n > 0$ de modo que $$ \lceil x \rceil+\left\{ \frac{1}{x}\right\}= 1.005 \cdot n.$$

Una torre comienza a moverse en un tablero de ajedrez infinito, alternando movimientos horizontales y verticales. La longitud del primer movimiento es de un cuadrado, del segundo - dos cuadrados, del tercero - tres cuadrados y así sucesivamente. a) ¿Es posible que la torre llegue a su punto de partida después de exactamente $2013$ movimientos? b) Encuentra todos los $n$ para los cuales es posible que la torre regrese a su punto de partida después de exactamente $n$ movimientos.

El prisma recto $ABCA'B'C'$, con $AB = AC = BC = a$, tiene la propiedad de que existe un único punto $M \in (BB')$ tal que $AM \perp MC'$. Encuentra la medida del ángulo de la recta $AM$ y el plano $(ACC')$.

Sea $n$ un entero positivo y $M = \{1, 2, . . . , 2n + 1\}$. Averigua de cuántas formas podemos dividir el conjunto $M$ en tres conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos $A,B,C$ de modo que ambos sean verdaderos: (i) para cada $a \in A$ y $b \in B$, el resto de la división de $a$ por $b$ pertenece a $C$ (ii) para cada $c \in C$ existe $a \in A$ y $b \in B$ tal que $c$ es el resto de la división de $a$ por $b$.

Sea $ABCD$ un rectángulo con $5AD <2 AB$. En el lado $AB$ considera los puntos $S$ y $T$ tales que $AS = ST = TB$. Sean $M, N$ y $P$ las proyecciones de los puntos $A, S$ y $T$ sobre las líneas $DS, DT$ y $DB$ respectivamente. Demuestra que los puntos $M, N$ y $P$ son colineales si y sólo si $15 AD^2 = 2 AB^2$.