Se da una circunferencia $\omega$ de radio $1$ . Una colección $T$ de triángulos se denomina buena si se cumplen las condiciones siguientes: cada triángulo de $T$ está inscrito en $\omega$ ; dos triángulos cualesquiera de $T$ no tienen puntos interiores comunes. Determine todos los números reales positivos $t$ tales que, para cada entero positivo $n$ , existe una colección buena de $n$ triángulos, cada uno con perímetro mayor que $t$ .

Dado cualquier conjunto $S$ de enteros positivos, demuestre que al menos una de las dos afirmaciones siguientes se cumple: (1) Existen subconjuntos finitos distintos $F$ y $G$ de $S$ tales que $\sum_{x\in F}1/x=\sum_{x\in G}1/x$ ; (2) Existe un número racional positivo $r<1$ tal que $\sum_{x\in F}1/x\neq r$ para todo subconjunto finito $F$ de $S$ .

Sea $n>1$ un entero positivo. Cada celda de una tabla $n\times n$ contiene un entero. Suponga que se satisfacen las condiciones siguientes: Cada número de la tabla es congruente con $1$ módulo $n$ . La suma de los números de cualquier fila, así como la suma de los números de cualquier columna, es congruente con $n$ módulo $n^2$ . Sea $R_i$ el producto de los números de la $i^{\text{th}}$ fila, y $C_j$ el producto de los números de la $j^{\text{th}}$ columna. Demuestre que las sumas $R_1+\hdots R_n$ y $C_1+\hdots C_n$ son congruentes módulo $n^4$ .

Para cada permutación $\sigma$ del conjunto $\{1, 2, \ldots , N\}$ definimos su corrección como el número de ternas $1 \leqslant i < j < k \leqslant N$ tales que el número $\sigma(j)$ se encuentra entre los números $\sigma(i)$ y $\sigma(k)$ . Halle la diferencia entre el número de permutaciones con corrección par y el número de permutaciones con corrección impar si a) $N = 2018$ y b) $N = 2019$ .

Dentro del triángulo acutángulo $ABC$ tomamos $P$ y $Q$ , dos puntos isogonales conjugados. Las rectas perpendiculares a la bisectriz interior del ángulo $\angle BAC$ que pasan por $P$ y $Q$ cortan a los segmentos $AC$ y $AB$ en los puntos $B_p\in AC$ , $B_q\in AC$ , $C_p\in AB$ y $C_q\in AB$ , respectivamente. Sea $W$ el punto medio del arco $BAC$ de la circunferencia $(ABC)$ . La recta $WP$ corta de nuevo a la circunferencia $(ABC)$ en $P_1$ y la recta $WQ$ corta de nuevo a la circunferencia $(ABC)$ en $Q_1$ . Demuestre que los puntos $P_1$ , $Q_1$ , $B_p$ , $B_q$ , $C_p$ y $C_q$ están sobre una circunferencia. Propuesto por P. Bibikov Miquel-point

Sea $a_0,a_1,a_2,\dots $ una sucesión de números reales tal que $a_0=0, a_1=1,$ y para cada $n\geq 2$ existe $1 \leq k \leq n$ que satisface \[ a_n=\frac{a_{n-1}+\dots + a_{n-k}}{k}. \] Halle el máximo valor posible de $a_{2018}-a_{2017}$ .

Demuestre que para todo número primo impar $p{}$ se cumple la siguiente congruencia \[\sum_{n=1}^{p-1}n^{p-1}\equiv (p-1)!+p\pmod{p^2}.\]

Halle el valor máximo de \[S = \sqrt[3]{\frac{a}{b+7}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c+7}} + \sqrt[3]{\frac{c}{d+7}} + \sqrt[3]{\frac{d}{a+7}},\] donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números reales no negativos que satisfacen $a+b+c+d = 100$ . Propuesto por Evan Chen, Taiwan

Sean $a_0, a_1, \ldots , a_n$ y $b_0, b_1, \ldots , b_n$ sucesiones de números reales tales que $a_0 = b_0 \geqslant 0$ , $a_n = b_n > 0$ y \[a_i=\sqrt{\frac{a_{i+1}+a_{i-1}}{2}},\quad b_i=\sqrt{\frac{b_{i+1}+b_{i-1}}{2}},\] para todo $i=1,\ldots,n-1$ . Demuestre que $a_1 = b_1$ .

Sea $I$ un incentro de $\triangle ABC$ . Sean $D, \ S \neq A$ las intersecciones de $AI$ con $BC, \ O(ABC)$ , respectivamente. Sean $K, \ L$ los incentros de $\triangle DSB, \ \triangle DCS$ . Sea $P$ la reflexión de $I$ con respecto a $KL$ . Demuestre que $BP \perp CP$ .