Halle todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que satisfacen las condiciones: $i) f(f(x)) = xf(x) - x^2 + 2,\forall x\in\mathbb{Z}$ $ii) f$ toma todos los valores enteros

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $| AB | > | AC |$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hasta $BC$ , sea $K$ la intersección de $AD$ con la bisectriz interna del ángulo $B$ , sea $M$ el pie de la perpendicular desde $B$ hasta $CK$ (puede estar en la prolongación del segmento $CK$ ) y sea $N$ la intersección de $BM$ y $AK$ (puede estar en la prolongación de los segmentos). Sea $T$ la intersección de $AC$ con la recta que pasa por $N$ y es paralela a $DM$ . Demuestre que $BM$ es la bisectriz interna del ángulo $\angle TBC$

Halle todos los enteros impares $n$ para los cuales $\frac{2^{\phi (n)}-1}{n}$ es un cuadrado perfecto.

Halle el menor entero positivo $n$ tal que, para cualesquiera $n$ números reales distintos $b_1, b_2,\ldots ,b_n$ en el intervalo $[ 1, 1000 ]$ , siempre existan $b_i$ y $b_j$ tales que: $$0<b_i-b_j<1+3\sqrt[3]{b_ib_j}$$

Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de enteros positivos que satisface las siguientes condiciones: $$a_1=1, a_{n+1}=a_n+a_{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}, \forall n\ge 1$$ Demuestre que para todo entero positivo $k$ existe un término $a_i$ que es divisible por $k$

Sea $n \ge 2$ . Ana y Beto juegan el siguiente juego: Ana elige $2n$ números reales no negativos $x_1, x_2,\ldots , x_{2n}$ (no necesariamente diferentes) cuya suma total es $1$ , y se los muestra a Beto. Luego Beto ordena estos números en un círculo de la manera que considere conveniente, calcula el producto de cada par de números adyacentes y escribe el valor máximo de estos productos. Ana quiere maximizar el número escrito por Beto, mientras que Beto quiere minimizarlo. ¿Qué número se escribirá si ambos juegan de manera óptima?

Halle todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $$\frac{a^b+b^a}{a^a-b^b}$$ es un entero

Sea $AB$ un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ con centro $O$ . Sea $CD$ una cuerda tal que $CD$ es perpendicular a $AB$ , y $E$ es el punto medio de $CO$ . La recta $AE$ corta a $\Gamma$ en el punto $F$ ; el segmento $BC$ corta a $AF$ y $DF$ en $M$ y $N$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $DMN$ interseca a $\Gamma$ en el punto $K$ . Demuestre que $KM=MB$ .

Sea $A$ el número de maneras en que el conjunto $\{ 1, 2, . . . , n\}$ puede particionarse en subconjuntos no vacíos. Sea $B$ el número de maneras en que el conjunto $\{ 1, 2, . . . , n, n + 1 \}$ puede particionarse en subconjuntos no vacíos tales que los números consecutivos pertenezcan a subconjuntos distintos. Las particiones que difieren solo en el orden de los subconjuntos se consideran iguales. Demuestre que $A = B$ .

4 Halle el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los lados de un polígono regular es cinco veces el inradio del pentágono.