Supongamos que el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ es tangente al lado $BC$ en el punto $A_1$. Análogamente, se definen los puntos $B_1$ en $CA$ y $C_1$ en $AB$, utilizando los excírculos opuestos a $B$ y $C$ respectivamente. Supongamos que el circuncentro del triángulo $A_1B_1C_1$ pertenece a la circunferencia que pasa por los vértices $A$, $B$ y $C$. Demuestra que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $W$ un punto sobre el lado $BC$, estrictamente entre $B$ y $C$. Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las alturas trazadas desde $B$ y $C$ respectivamente. Se denota por $\omega_1$ la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BWN$, y por $X$ el punto de $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$. Análogamente, se denota por $\omega_2$ la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $CWM$, y por $Y$ el punto de $\omega_2$ tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$. Demuestra que los puntos $X$, $Y$ y $H$ son colineales.

Sea $n \geq 3$ un número entero. Se considera una circunferencia en la que se han marcado $n + 1$ puntos igualmente espaciados. Cada punto se etiqueta con uno de los números $0, 1, \dots, n$ de manera que cada número se usa exactamente una vez. Dos distribuciones de etiquetas se consideran la misma si una se puede obtener de la otra por una rotación de la circunferencia. Una distribución de etiquetas se llama bonita si, para cualesquiera cuatro etiquetas $a \lt b \lt c \lt d$, con $a + d = b + c$, la cuerda que une los puntos etiquetados $a$ y $d$ no corta la cuerda que une los puntos etiquetados $b$ y $c$. Sea $M$ el número de distribuciones bonitas y $N$ el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x + y \leq n$ y $\text{mcd} (x, y) = 1$. Demuestra que $M=N+1$.

Sea $\mathbb{Q}_{>0}$ el conjunto de los números racionales mayores que cero. Sea $f : \mathbb{Q}_{\gt 0} \to \mathbb{R}$ una función que satisface las tres siguientes condiciones: (i) $f(x)f(y) \geq f(xy)$ para todos los $x,y \in \mathbb{Q}_{>0}$; (ii) $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ para todos los $x,y \in \mathbb{Q}_{>0}$; (iii) existe un número racional $a > 1$ tal que $f(a) = a$. Demuestra que $f(x) = x$ para todo $x \in \mathbb{Q}_{>0}$.

Dado un triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se cortan en $F$, y las rectas $KM$ y $CJ$ se cortan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$, y sea $T$ el punto de intersección de las rectas $AG$ y $BC$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $ST$.

Sea $n \geq 3$ un entero, y sean $a_2, a_3, \dots, a_n$ números reales positivos tales que\n$a_2a_3 \dots a_n = 1$. Demuestra que\n\[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\]

El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ conocidos por ambos jugadores. Al principio del juego, el jugador $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1 \leq x \leq N$. El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto, y le dice a $B$ el verdadero valor de $N$. A continuación, el jugador $B$ intenta obtener información acerca de $x$ formulando preguntas a $A$ de la siguiente manera: en cada pregunta, $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (que puede ser uno de los especificados en alguna pregunta anterior), y pregunta a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con sí o no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualesquiera $k + 1$ respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera. Cuando $B$ haya formulado tantas preguntas como haya deseado, debe especificar un conjunto $X$ de a lo más n enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$ entonces gana $B$; en caso contrario, pierde. Demuestra que: 1. Si $n \geq 2^k$, entonces $B$ puede asegurarse la victoria. 2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n \geq 1.99^k$ tal que B no puede asegurarse la victoria.

Para cualquier conjunto $A = {a_1, a_2, a_3, a_4}$ de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma $a_1+a_2+a_3+a_4$ por $s_A$. Sean $A$ el número de parejas $(i,j)$ con $1\leq i\lt j\leq 4$ para las cuales $a_i + a_j$ divide a $s_A$. Encuentra todos los conjuntos $A$ de cuatro enteros positivos distintos para los cuales se alcanza el mayor valor posible de $n_A$.

Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en si mismo que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todo par de números reales $x, y$. Demuestra que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BCA = 90^{\circ}$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK = BC$. Análogamente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL = AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Demuestra que $MK = ML$.