Sea $n\in\mathbb{N}^*$ y $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ vectores en el plano con longitudes menores o iguales a $1$ . Demostrar que existe $\xi_1,\xi_2,\ldots ,\xi_n\in\{-1,1\}$ tal que $ | \xi_1v_1+\xi_2v_2+\ldots +\xi_nv_n|\le\sqrt{2}$

Sea $ABC$ un triángulo $(A=90^{\circ})$ y $D\in (AC)$ tal que $BD$ es la bisectriz de $B$ . Demostrar que $BC-BD=2AB$ si y solo si $\frac{1}{BD}-\frac{1}{BC}=\frac{1}{2AB} $

Sea $A$ un conjunto de números reales que verifica: $ a) \ 1 \in A \ b) \ x\in A\implies x^2\in A\ c)\ x^2-4x+4\in A\implies x\in A $ Demostrar que $2000+\sqrt{2001}\in A$ .

En el cubo $ABCDA'B'C'D'$ , con lado $a$ , el plano $(AB'D')$ interseca los planos $(A'BC),(A'CD),(A'DB)$ en las rectas $d_1,d_2$ y $d_3$ respectivamente. a) Demostrar que las rectas $d_1,d_2,d_3$ se intersecan por pares. b) Determinar el área del triángulo formado por estas tres rectas.

Consideramos los puntos $A,B,C,D$ , no en el mismo plano, tales que $AB\perp CD$ y $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$ . a) Demostrar que $AC\perp BD$ . b) Demostrar que si $CD<BC<BD$ , entonces el ángulo entre los planos $(ABC)$ y $(ADC)$ es mayor que $60^{\circ}$ .

Para cada número racional $m>0$ consideramos la función $f_m:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},f_m(x)=\frac{1}{m}x+m$ . Denotamos por $G_m$ la gráfica de la función $f_m$ . Sean $p,q,r$ números racionales positivos. a) Demostrar que si $p$ y $q$ son distintos entonces $G_p\cap G_q$ es no vacío. b) Demostrar que si $G_p\cap G_q$ es un punto con coordenadas enteras, entonces $p$ y $q$ son números enteros. c) Demostrar que si $p,q,r$ son números naturales consecutivos, entonces el área del triángulo determinado por las intersecciones de $G_p,G_q$ y $G_r$ es igual a $1$ .

Determinar todos los números reales $a$ y $b$ tales que $a+b\in\mathbb{Z}$ y $a^2+b^2=2$ .

Considerar el ángulo agudo $ABC$ . En la semirrecta $BC$ consideramos los puntos distintos $P$ y $Q$ cuyas proyecciones sobre la recta $AB$ son los puntos $M$ y $N$ . Sabiendo que $AP=AQ$ y $AM^2-AN^2=BN^2-BM^2$ , hallar el ángulo $ABC$ .

Consideramos un trapecio rectángulo $ABCD$ , en el que $AB||CD,AB>CD,AD\perp AB$ y $AD>CD$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $O$ . La paralela a $AB$ que pasa por $O$ interseca a $AD$ en $E$ y $BE$ interseca a $CD$ en $F$ . Demostrar que $CE\perp AF$ si y solo si $AB\cdot CD=AD^2-CD^2$ .

Sean $a$ y $b$ números reales, positivos y distintos. Consideramos el conjunto: $M=\{ ax+by\mid x,y\in\mathbb{R},\ x>0,\ y>0,\ x+y=1\} $ Demostrar que: (i) $\frac{2ab}{a+b}\in M;$ (ii) $\sqrt{ab}\in M.$