Demostrar que no existen enteros $a$ y $b$ tales que $a^3+a^2b+ab^2+b^3=2001$ .

Fijar un círculo $\Gamma$ , una línea $\ell$ tangente a $\Gamma$ , y otro círculo $\Omega$ disjunto de $\ell$ tal que $\Gamma$ y $\Omega$ se encuentran en lados opuestos de $\ell$. Las tangentes a $\Gamma$ desde un punto variable $X$ en $\Omega$ se encuentran con $\ell$ en $Y$ y $Z$. Demostrar que, cuando $X$ varía sobre $\Omega$ , la circunferencia circunscrita de $XYZ$ es tangente a dos círculos fijos.

Sea $n$ un entero positivo y fijar $2n$ puntos distintos en un círculo. Determinar el número de formas de conectar los puntos con $n$ flechas (segmentos de línea orientados) tales que se cumplan todas las siguientes condiciones: cada uno de los $2n$ puntos es un punto de inicio o punto final de una flecha; no hay dos flechas que se intersequen; y no hay dos flechas $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$ tales que $A$ , $B$ , $C$ y $D$ aparezcan en orden horario alrededor del círculo (no necesariamente consecutivamente).

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos tales que $ad \neq bc$ y $gcd(a,b,c,d)=1$. Sea $S$ el conjunto de valores alcanzados por $\gcd(an+b,cn+d)$ cuando $n$ recorre los enteros positivos. Demostrar que $S$ es el conjunto de todos los divisores positivos de algún entero positivo.

Ana y Bob juegan un juego en las aristas de una cuadrícula cuadrada infinita, jugando por turnos. Ana juega el primer movimiento. Un movimiento consiste en orientar cualquier arista que aún no haya recibido una orientación. Bob gana si en algún momento se ha creado un ciclo. ¿Tiene Bob una estrategia ganadora?

Determinar si existen polinomios no constantes $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes reales que satisfagan $$P(x)^{10}+P(x)^9 = Q(x)^{21}+Q(x)^{20}.$$

Sean $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $P$ un punto en el lado $AB$. La diagonal $AC$ se encuentra con el segmento $DP$ en $Q$. La línea que pasa por $P$ paralela a $CD$ se encuentra con la extensión del lado $CB$ más allá de $B$ en $K$. La línea que pasa por $Q$ paralela a $BD$ se encuentra con la extensión del lado $CB$ más allá de $B$ en $L$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BKP$ y $CLQ$ son tangentes.

Sean algunos puntos en un plano, no tres colineales. Asociamos un valor positivo o negativo a cada segmento formado por estos. Demuestre que el número de puntos, el número de segmentos con valor negativo asociado y el número de triángulos que tiene un producto negativo de los valores de sus lados, comparten la misma paridad.

Sea $ p $ un número natural y sean dos particiones $ \mathcal{A} =\left\{ A_1,A_2,...,A_p\right\} ,\mathcal{B}=\left\{ B_1,B_2,...B_p\right\} $ de un conjunto finito $ \mathcal{M} . $ Sabiendo que, siempre que un elemento de $ \mathcal{A} $ no tiene ningún elemento en común con otro de $ \mathcal{B} , $ se cumple que el número de elementos de estos dos es mayor que $ p, $ demuestre que $ \big| \mathcal{M}\big|\ge\frac{1}{2}\left( 1+p^2\right) . $ ¿Puede darse la igualdad?

Sea $ k $ un número natural. Se dice que una función $ f:S:=\left\{ x_1,x_2,...,x_k\right\}\longrightarrow\mathbb{R} $ es aditiva si, siempre que $ n_1x_1+n_2x_2+\cdots +n_kx_k=0, $ se cumple que $ n_1f\left( x_1\right)+n_2f\left( x_2\right)+\cdots +n_kf\left( x_k\right)=0, $ para todos los números naturales $ n_1,n_2,...,n_k. $ Demuestre que para cada función aditiva y para cada conjunto finito de números reales $ T, $ existe una segunda función, que es una función aditiva real definida en $ S\cup T $ y que es igual a la anterior en la restricción $ S. $